Число 27 можно записать как 7 + 7 + 13. Все три слагаемых — простые числа: они больше единицы и делятся без остатка только на себя и единицу. Подобрать такой пример легко. Доказать, что подходящие слагаемые найдутся для любого нечетного числа больше пяти, оказалось задачей на столетия. Иван Виноградов построил один из решающих этапов этого доказательства.
Биография Ивана Виноградова
Путь Виноградова в большую математику начался в Псковской губернии и продолжился в Петербургском университете. Теория чисел стала его главным научным интересом еще в студенческие годы.
Детство и образование
Иван Виноградов родился в селе Милолюб в семье сельского священника и учительницы. По юлианскому календарю, действовавшему в Российской империи, это было 2 сентября, по григорианскому — 14 сентября. Он учился в реальном училище в Великих Луках, где увлекся математикой, затем поступил на физико-математический факультет Петербургского университета.
Первые научные работы
В университете наставником Ивана Виноградова стал Яков Успенский. В 1914 году Виноградов окончил обучение и остался готовиться к профессорской деятельности. Первые работы касались того, как распределяются числа с определенными арифметическими свойствами.
Другой ранней задачей стал подсчет точек с целыми координатами внутри геометрических фигур. На клетчатой бумаге такие точки находятся в узлах сетки. Площадь фигуры дает приближение к их количеству, но возле границы возникает расхождение. Виноградов искал способы строго оценить его — работа с погрешностью вскоре стала одной из основ его метода.
Руководство Математическим институтом имени Стеклова
После преподавания в Перми Виноградов вернулся в Петроград, работал в университете и Политехническом институте. В 1934 году он возглавил созданный как самостоятельное учреждение Математический институт имени Стеклова, который переехал в Москву. Виноградов руководил МИАН почти полвека, с перерывом в 1941—1944 годах, и одновременно продолжал исследования по теории чисел. Он умер 20 марта 1983 года в возрасте 91 года.
Основные открытия Ивана Виноградова
Виноградов занимался аналитической теорией чисел: в ней свойства целых чисел исследуют с помощью функций, сумм и оценок. Его методы позволяли переходить от отдельных примеров к утверждениям о целых классах чисел.
Метод тригонометрических сумм
Синус и косинус обычно знакомы по школьной тригонометрии. Их периодичность помогает и в арифметике: выражения из этих функций можно подобрать так, чтобы при суммировании и интегрировании выделялись нужные целочисленные равенства. Например, равенство суммы трех простых чисел заданному числу.
Так число решений удается выразить через тригонометрические суммы. Затем формулу разделяют на главную часть и погрешность. Если главная часть положительна и превышает возможную ошибку, число решений точно больше нуля. Хотя сами слагаемые еще не найдены, их существование уже доказано.
Виноградов разработал способы оценивать такие суммы достаточно точно, чтобы этот прием работал в задачах, которые прежде не поддавались решению.
Решение задач о суммах степеней
Одним из направлений стала проблема Варинга: сколько квадратов, кубов или более высоких одинаковых степеней достаточно для представления любого натурального числа. Например, 13 = 3² + 2². Существование конечного предела числа слагаемых для каждой степени ранее доказал Давид Гильберт. Виноградов предложил новый подход и существенно улучшил оценки числа слагаемых, достаточного для всех больших чисел. Его методы помогали выяснять, насколько экономным может быть такое представление.
Теорема Виноградова и проблема Гольдбаха простыми словами
Задача о трех простых числах выросла из переписки Христиана Гольдбаха и Леонарда Эйлера в XVIII веке. Ее называют тернарной проблемой Гольдбаха: требуется представить каждое нечетное число больше пяти суммой трех простых чисел, причем слагаемые могут повторяться.
В 1937 году Виноградов доказал это утверждение для любого достаточно большого нечетного числа. Полученная им формула гарантировала существование представлений начиная с некоторого порога. Ниже него теорема сама по себе ответа не давала. Для полного решения требовалось снизить порог настолько, чтобы оставшийся диапазон можно было проверить вычислениями. При очень больших числах даже конечный перебор может оказаться непосильным.
В 2013 году Харальд Хельфготт доказал тернарную гипотезу полностью, развив подходы Харди, Литлвуда и Виноградова. Утверждение охватило все нечетные числа больше пяти. Это задача с тремя простыми слагаемыми; отдельная, более сильная гипотеза Гольдбаха касается представления четных чисел суммой двух простых.
Вклад Ивана Виноградова в современную математику
Университетские лекции Виноградова легли в основу книги «Основы теории чисел». Она начиналась с делимости целых чисел и через задачи подводила читателя к более сложным вопросам. Учебник многократно переиздавали и переводили на другие языки.
Разработанные ученым оценки продолжили совершенствовать и после его смерти. В 2016 году Жан Бургейн, Чиприан Деметер и Ларри Гут опубликовали доказательство главной гипотезы в теореме Виноградова о среднем для степеней выше трех. Результат дал почти наилучшую возможную оценку количества решений определенных систем уравнений в целых числах. К задаче, выросшей из теории чисел, авторы подошли с помощью методов гармонического анализа — раздела математики, изучающего разложение функций на колебания.
Где применяются методы Виноградова в нашей жизни
За формулами о простых числах трудно разглядеть что-то повседневное. Связь становится понятнее через компьютерные расчеты: один из примеров — проверка качества псевдослучайных чисел, которые программа создает по заданному алгоритму. Такие числа нужны, например, для расчета освещения в компьютерной графике. Программа моделирует множество возможных путей света и по ним строит изображение. Качество выборки влияет на точность результата: важно, чтобы алгоритм охватывал нужные варианты без систематических перекосов.
Здесь находят применение дальнейшие версии результатов Виноградова. Исследователи использовали его теорему о среднем, чтобы оценить равномерность распределения чисел у определенного типа генераторов. Связь с повседневными технологиями получается опосредованной: разработанные математиком инструменты помогают изучать надежность числовых последовательностей, на которых строятся вычислительные методы.
Ранее Наука Mail рассказала о жизни и открытиях математика Павла Александрова.