В журнале Quanta Magazine вышла статья, которая расширяет важную математическую связь, ранее известную лишь для эллиптических кривых. Группа из четырех ученых — Фрэнк Калегари из Чикагского университета, Джордж Боксер и Тоби Джи из Имперского колледжа Лондона и Винсент Пиллони из CNRS — доказала, что более сложные объекты, называемые абелевыми поверхностями, также соответствуют модульным формам, то есть симметричным функциям, используемым в анализе.
Эта работа стала следующим крупным шагом после знаменитого доказательства Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом в 1994 году. Тогда он и Ричард Тейлор впервые показали, что эллиптические кривые — уравнения с двумя переменными — можно связать с модульными формами. Это было не только решением многовековой задачи, но и открытием «моста» между двумя крупными направлениями математики. Новое доказательство Калегари и коллег расширяет этот мост на трехмерные объекты, включающие уже три переменные.
Абелева поверхность — это следующий уровень сложности по сравнению с эллиптической кривой. Чтобы доказать, что она связана с модульной формой, математикам пришлось придумать новые методы, в том числе использовать представление чисел в системе «по модулю», или так называемую арифметику часов. В процессе они обратились к идеям китайского математика Лю Пана, который предложил ключевые техники для анализа модульных форм.
Работа над теоремой заняла почти 10 лет. Завершилась она в 2023 году после интенсивной недели совместной работы в Бонне, Германия. Итог: доказано, что для определенного класса абелевых поверхностей существует соответствующая модульная форма, то есть между этими объектами действительно можно установить точную математическую связь.
Это открытие уже называют важным этапом в развитии так называемой программы Ленглендса — крупного математического проекта, цель которого объединить разные области теории чисел, анализа и алгебры. Математики надеются, что в будущем удастся доказать подобные соответствия для еще более сложных объектов.
Иногда самые устойчивые математические идеи проявляются не только в абстрактных пространствах, но и в хаотичном поведении реального мира. Как строгие методы позволяют распутать вихри и понять природу турбулентности — об этом вы можете прочитать в этой статье.