Простые числа — это числа больше единицы, которые делятся только на себя и единицу. Каждому школьнику знакомы 2, 3, 5 или 7, но чем больше число, тем сложнее определить, простое оно или нет. Например, самое большое из известных простых чисел — 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1 — состоит из более чем 41 миллиона цифр. Проверка таких чисел на простоту — крайне трудоемкая задача.
Однако исследователи не просто хотят проверять, простое число или нет. Главная цель — понять, как простые числа распределяются в бесконечном ряду чисел, и можно ли найти закономерности. До сих пор такие попытки в основном упирались в проверку деления на другие числа.
В своей работе, опубликованной в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences USA, Кен Оно (Университет Вирджинии), Уильям Крейг (Военно-морская академия США) и Ян-Виллем ван Иттерсум (Кельнский университет) предложили использовать старую математическую идею — разбиения чисел на слагаемые.
Мы описали бесконечно много новых видов критериев для точного определения множества простых чисел, все из которых сильно отличаются от: если вы не можете разложить это на множители, оно должно быть простым.
Разбиение — это способ представить число как сумму других положительных чисел. Например, число 5 можно разбить семью способами: 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1.
Исследователи доказали, что существует бесконечное количество диофантовых уравнений (уравнений с целыми решениями), в которых простые числа — это единственные решения. Эти уравнения используют так называемые функции разбиения — хорошо изученные объекты комбинаторики.
Одно из таких уравнений выглядит так:
(3n³ − 13n² + 18n − 8)×M₁(n) + (12n² − 120n + 212)×M₂(n) − 960×M₃(n) = 0
Здесь M₁(n), M₂(n), M₃(n) — определенные функции разбиения. Если подставить число n и уравнение обращается в ноль — значит, n простое. Более того, таких уравнений — бесконечное количество.
Впервые предложен способ точно определять простые числа без деления — с помощью уравнений, построенных на функциях разбиения. Таких уравнений бесконечно много, и каждое дает строгий критерий простоты. Это значит, что теперь у математики есть новый, чисто комбинаторный язык описания простых чисел.
Метод соединяет две разные области — теорию чисел и комбинаторику, создавая мост между ними. Это не просто теоретическая изюминка: подход может найти применение в криптографии и теоретической информатике, где важно быстро определять свойства больших чисел.
В мире математики, где даже одно точное определение — уже редкость, это действительно звучит как прорыв.
Ранее мы рассказывали, как эффективно преподавать математику детям