Распределение Больцмана — один из базовых законов статистической физики. Он не пытается отследить движение каждой частицы, а описывает вероятности разных состояний системы в целом. Именно так физика работает с хаотичными процессами — от движения молекул в газе до тепловых колебаний в твердых телах.
Этот закон появился в XIX веке благодаря австрийскому физику Людвигу Больцману и давно вышел за пределы физики. Его используют в машинном обучении, теории принятия решений и экономике. Там он известен как многономиальная логистическая регрессия и применяется для описания выбора между альтернативами, например, при прогнозировании поведения покупателей.
Теперь экономисты и математики из Калифорнийского технологического института и Принстонского университета строго доказали, что распределение Больцмана — единственный возможный закон, который корректно описывает независимые системы. Их работа опубликована в журнале Mathematische Annalen.
Независимость в этом контексте означает, что один выбор не должен влиять на другой, если между ними нет реальной связи. Классический пример из экономики — покупка хлопьев и выбор средства для мытья посуды. Если модель утверждает, что одно решение влияет на другое, значит в ней заложена искусственная зависимость.
Чтобы проверить, существуют ли альтернативы распределению Больцмана, исследователи использовали математический аналог — игральные кости. Каждый бросок игральной кости случаен — вы можете получить 1, 2, 3, 4, 5 или 6 — и может рассматриваться как поведение отдельного человека или физической системы. Если вы бросите игральную кость много раз, вы начнете замечать закономерность — каждый исход, числа от 1 до 6, будет происходить примерно в одной шестой случаев. Это распределение одной игральной кости.
Если бросить две игральные кости и записать их суммы, получится другое распределение. Например, вероятность выпадения двойки составляет 1/36, потому что существует только один способ выбросить двойку (1 и 1). Но вероятность выпадения восьмерки составляет 5/36, потому что существует пять способов выбросить восьмерку (4 и 4, 3 и 5, 5 и 3, 2 и 6, и 6 и 2).
Важно отметить, что результат одного броска кубика не содержит информации о результате другого, поскольку это две несвязанные физические системы. Возвращаясь к экономическому примеру, один кубик подобен выбору хлопьев для завтрака, а другой — выбору средства для мытья посуды. Случайные выборы не должны влиять друг на друга.
Помимо обычных костей существуют и «странные», например, кости Сихермана, придуманные в 1970-х годах. Их грани устроены необычно, но суммы при броске двух таких костей распределяются точно так же, как у стандартных.
Этот парадокс позволяет тестировать любые теории. Если модель действительно описывает независимость, она должна давать одинаковые результаты и для обычных, и для «странных» костей. Перебрав бесконечное число таких конструкций с помощью методов теории многочленов, исследователи показали, что ни одна альтернативная формула не проходит проверку.
В итоге распределение Больцмана оказалось не просто удобной моделью, а единственной математически согласованной формой описания независимых систем. Закон, созданный для физики, оказался фундаментальным и для анализа человеческого выбора.
Ранее Наука Mail рассказывала о том, как ученые изучили восприятие фокусов людьми.
