Группа математиков представила доказательство, решающее проблему, поставленную лауреатом премии Абеля Мишелем Талаграндом три десятилетия назад. Речь идет о гипотезе выпуклости, которую французский ученый сформулировал в 1995 году. Вопрос касался возможности создания выпуклости за фиксированное число шагов с помощью операций, называемых суммами Минковского, в любом количестве измерений.
В математике выпуклость означает, что фигура или функция изгибается наружу, исключая зазоры или вмятины. Любая линия, проведенная между двумя точками внутри такой фигуры, полностью лежит в ней. Круг или квадрат в двух измерениях, сфера или куб в трех измерениях считаются выпуклыми. Сложность задачи растет с увеличением числа измерений — это явление известно как «проклятие размерности».
Сам Талагранд не верил в разрешимость своей гипотезы, назвав ее «выстрелом наугад», и даже предложил 2000 долларов за доказательство. В 2025 году другой математик показал, что более сильная версия проблемы с заменой суммы Минковского выпуклыми операциями не работает, однако общая гипотеза оставалась открытой.
Дунмин Хуа и Антуан Сонг из Калифорнийского технологического института вместе со Стефаном Тудозе из Принстонского университета нашли решение. Они переформулировали геометрическую задачу в теорию вероятностей и случайных векторов. В статье на сервере препринтов arXiv они доказали, что любой 1-субгауссовый случайный вектор в n измерениях можно выразить как сумму трех стандартных гауссовых векторов. Это доказывает, что внутри тройной суммы исходного множества в гауссовском пространстве всегда найдется выпуклое множество значимой меры.
Хотя изначально исследователи пытались привлечь ChatGPT, окончательное и более общее доказательство предоставил Тудозе. Результат имеет значение для науки о данных, машинного обучения и оптимизации логистики, где встречаются похожие модели со сложной случайностью.
Ранее 23-летний австралиец без профильного математического образования Лиам Прайс с помощью нейросети GPT-5.4 Pro нашел решение задачи, которая 60 лет не давалась ведущим математикам мира.
