Математики из нижегородского кампуса Высшей школы экономики Олег Галкин и Иван Ремизов решили задачу, над которой ученые бились больше полувека. Об этом рассказали в пресс-службе ВШЭ.
Откуда взялась эта задача
Речь идет о так называемой черновской аппроксимации полугрупп операторов. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил теорему, которая позволяла описывать, как изменяются сложные системы, состоящие из многих частей.
Как быстро остывает чашка кофе? Как распространяется тепло в двигателе? Как ведет себя квантовая частица? Математика может дать ответы на все эти сложные вопросы благодаря вычислениям. В основе таких вычислений лежит экспонента — одна из важнейших математических функций, которая выражается возведенным в степень числом е (оно равно примерно 2,718).
Однако в случае очень сложных систем, которые описываются так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления экспоненты перестают работать. Метод Чернова позволял приближенно вычислять нужные значения экспоненты. Последовательные приближения помогали в итоге прийти к правильному ответу.
Что нового доказали математики
Однако сколько витков вычислений каждый раз уходит на такие расчеты, оставалось неизвестным. Олег Галкин и Иван Ремизов как раз и решили эту проблему. Они получили общие оценки скорости, с которой приближенные значения сходятся к точному результату в зависимости от выбранных параметров.
Эту ситуацию можно сравнить с кулинарным рецептом. Пол Чернов указал необходимые шаги, но не объяснил, как именно подобрать оптимальные ингредиенты — вспомогательные функции Чернова, обеспечивающие наилучший результат. Поэтому нельзя было точно предсказать, с какой скоростью будет готово блюдо. Мы доработали этот рецепт и определили, какие ингредиенты подходят лучше всего, чтобы сделать метод более быстрым и эффективным.
Нижегородские математики показали, что метод Чернова может работать значительно быстрее, если правильно выбрать вспомогательные функции. Они доказали теорему: «если функция Чернова и приближаемая полугруппа имеют одинаковый многочлен Тейлора порядка k и при этом функция Чернова мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то разница между приближенным и точным значениями уменьшается как минимум пропорционально 1/n^k, где n — номер шага, а k — любое натуральное число, отражающее качество выбранных функций». Таким образом, чем выше k, тем быстрее удается получить готовый результат.
Итоги работы опубликованы в престижном журнале Israel Journal of Mathematics (Q1). 5 июля их презентовали на Международной конференции «Теория функций и ее приложения». Запись выступления авторов и тезисы будут доступны на сайте конференции.
Исследование носит теоретический характер, но обязательно получит и прикладной эффект, потому что расчеты станут основой для разработки новых численных методов в квантовой механике, теплопередаче, теории управления и других науках, где моделируются сложные процессы во времени.
Ранее Наука Mail рассказывала, что австралийский математик нашел способ решения полиномиальных уравнений.